14 березня (3.14 в американській системі запису дат) світ відзначає День числа «пі» — так читається назва грецької букви π. Три його перших значущих цифри 3,14 знають, мабуть, усі, хто хоч трохи знайомий з математикою. Насправді їх там нескінченна кількість, і вчені прагнуть знати їх якомога більше. Навіщо це їм і як це число обчислювали наші предки?
Ще давні єгиптяни звернули увагу, що співвідношення між довжиною кола та його діаметром є постійною величиною: якщо «розгорнути» мотузку, обмотану навколо циліндра довільного діаметра, її протяжність буде рівною трьом діаметрам цього циліндра та ще трохи. Величина цієї «трохи» довго не давала спокою математикам. Попервах було цілком достатньо вважати, що вона «вкладається» в діаметр сім разів. Але пізніше, коли з’явилися більш точні методи обчислень, стало ясно, що не все так просто.
Якщо перевести 1/7 у десятковий дріб, ми отримаємо 0,142857142857142857… — нескінченну послідовність із шести цифр, що періодично повторюється. Таке повторення довшого чи коротшого «цифрового ланцюжка» властиво всім раціональним дробам, які утворюються діленням одне на одне довільних цілих чисел. Оскільки у побуті ми користуємося десятковою системою, що базується на простих числах 2 та 5, ділення на них, їхні ступені чи добуток довільних їхніх ступенів дасть скінченну послідовність цифр на кшталт 0,04 або 3,75. Усі інші утворюватимуть так звані періодичні дроби.
Давньогрецькі вчені взялися обчислювати значення найважливішої константи як проміжне між довжиною периметрів правильних багатокутників, описаних і вписаних у коло одиничного радіуса. До речі, звідси й походить саме позначення π, яким початково позначали довжину половини периметра. Саме її відношення до радіуса, позначеного літерою ρ, й давало потрібну величину. Тривалий час її так і позначали — π/ρ. «Самотню» літеру π почав вживати 1706 року англійський математик Вільям Джонс у своїй праці Synopsis Palmariorum Matheseos, після чого вона вже стала загальноприйнятою. Але повернімося до Давньої Греції.
Півпериметр шестикутника, вписаного в коло одиничного радіуса, дорівнює трьом, а квадрата, описаного навколо нього, — чотирьом. Очевидно, чим більше кутів у багатокутника — тим більше він «наближатиметься» до кола, а його півпериметр — до числа π. Але тут виникла одна проблема: для обчислення довжини сторони такого багатокутника доводилося використовувати функцію квадратного кореня (теорема Піфагора була вже відома). Результатом розрахунків стали вже не раціональні, а ірраціональні дроби — в них жодних послідовностей цифр не повторювалося. Та й обчислення таких величин займало багато часу й зусиль. Тому вчені на певний час вирішили обійтися нижньою та верхньою межею значення π, вираженими співвідношеннями відносно невеликих чисел. Знаменитий Архімед близько 250 року до н. е. в якості останньої використав уже відому величину 22/7, а для «обмеження знизу» запропонував дріб 223/71.
Приблизно через 100 років Клавдій Птолемей у своїй головній праці «Альмагест» вказав значення 3,1416, якого й зараз загалом достатньо для більшості побутових потреб. Значно гірше справи з математикою просувалися на Сході. Ще на початку нової ери китайці користувались апроксимацією 142/45, що пізніше була покращена до 3,1547. Лише 265 року китайський учений Ліу Гуй теж вийшов на те саме значення, що й у Птолемея, обчисливши довжину півпериметра 3072-кутника. Близько 480-го придворний астроном Цзу Чунчжи вирахував число π до сьомого знаку після коми й запропонував дуже непогане, а головне — легке для запам’ятовування співвідношення 355/113.
Подальший прогрес у цьому напрямі почався з настанням Європейського Відродження. Воно дало поштовх розвитку математичної науки й обчислювальних методів. У XVII столітті математики Джеймс Грегорі та Готфрід Лейбніц запропонували використовувати для розрахунку числа π нескінченні регулярні числові ряди, що сходяться. Найпростіший із них такий: π/4=1–1/3+1/5–1/7+1/9–1/11+1/13–1/15…
Потім з’явились і більш зручні ряди — вони дозволили з дедалі більш високою точністю обчислювати не лише значення π, але й дуже важливі тригонометричні функції. Паралельно деякі математики ставили питання: а може, число π все ж є раціональним і після якоїсь цифри «видасть» послідовність, що повторює вже пройдену? Доведення протилежного виявилося нелегкою справою. Це зробив лише 1768 року швейцарський учений Йоганн Ламберт. А 1882-го німецький математик Фердинанд фон Ліндеман довів, що π — число трансцендентне, тобто воно не є жодним раціональним ступенем жодного раціонального дробу.
Але чисто обчислювальна складова довго гальмувалася відсутністю необхідної технічної бази: складати й віднімати «вручну» довжелезні послідовності цифр ставало все важче, й кожен наступний знак потребував все більше часу для розрахунку. В середині XIX століття кількість відомих цифр у числі π «дотягла» до пів тисячі, й за наступну сотню років вона зросла несуттєво. Все змінилося з появою електронних обчислювальних машин. 1949 року на одному з перших калькуляторів, який уже можна було назвати «настільним», американські математики Джон Ренч і Леві Сміт вирахували 1120 значущих цифр. У 1973-му, майже одночасно з народженням чотирьохмільярдного мешканця Землі, людство святкувало мільйонний знак числа π.
Станом на 2022 рік кількість відомих знаків у цьому числі вдалося довести до ста трильйонів, і цей показник продовжує зростати. Навіщо це вченим? По-перше, такі розрахунки є гарним «тестовим матеріалом» для вдосконалення методики обчислень і, звичайно, комп’ютерної техніки. По-друге, ірраціональні та трансцендентні числа з їхніми непередбачуваними цифровими послідовностями допомагають шифрувальникам закодовувати секретні послання (відповідно, криптоаналітики можуть використати їх для розшифровки). Нарешті, фізики та космологи завжди прагнули якомога точніше визначити всі константи нашого світу, що впливають на його властивості й подальшу долю. Число π — одна з таких констант, перевага якої в тому, що для її уточнення не потрібні складні спостереження та вимірювання — достатньо лише ретельних обчислень.
А якщо комусь захочеться вивчити це магічне число до 50-го знаку після коми — це зовсім нескладно: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Також 14 березня світ відзначає 145-ту річницю з дня народження Альберта Ейнштейна.
Тільки найцікавіші новини та факти у нашому Telegram-каналі!
Долучайтеся: https://t.me/ustmagazine
